01 – Oscilações

O estudo das oscilações constitui a base para a compreensão de uma vasta gama de fenômenos naturais e tecnológicos. Um sistema físico entra em oscilação sempre que é afastado de sua configuração de equilíbrio e sofre a ação de uma força restauradora que tende a trazê-lo de volta a esse estado original. Desde o movimento periódico de um pêndulo simples até as vibrações microscópicas dos átomos em um cristal, a análise das oscilações permite descrever como a energia é armazenada e alternada entre formas cinéticas e potenciais, estabelecendo os conceitos fundamentais de período, frequência e amplitude que regem o comportamento de sistemas dinâmicos.

A transição das oscilações para o estudo dos fenômenos ondulatórios ocorre quando compreendemos que as vibrações podem se propagar através de um meio ou do vácuo. Ao analisar o Movimento Harmônico Simples (MHS), preparamos o terreno para entender como perturbações em uma corda ou variações em campos eletromagnéticos transportam energia sem o transporte macroscópico de matéria. Assim, este capítulo não apenas explora a matemática das repetições temporais, mas também fornece as ferramentas necessárias para deduzir os coeficientes de reflexão e transmissão em interfaces, conectando a dinâmica de uma partícula individual à complexidade das ondas que definem a física moderna.

1.1 Movimento harmônico simples

No curso de Mecânica estudamos que a força restaurador produzida por uma mola é dada pela lei Hooke

onde $k$ é a constante da mola e $x$ é o deslocamento da mola em relação a posição de equilíbrio. A energia armazenada na mola pode ser obtida através da definição de energia potencial

que para a mola, no caso unidirecional, nos dá

Embora as equações 1 e 2 sejam bastante precisas perto do ponto de equilíbrio estável, para distenções muito grande da mola as curvas começam a se afastar da Lei de Hooke, mas desde que não nos afastemos muito da posição de equilíbrio estável é sempre possível fazer uma aproximação parabólica para o potencial e obter uma força linear.

1.2 Sistema massa-mola

Agora, vamos considerar um bloco de massa $m$ que está preço a mola que se prende a parece. Além disso, inicialmente, vamos considerar que ele desliza em uma superfície sem atrito.

Na posição $x_0=0$ ele se encontra na posição de equilíbrio e a mola se encontra em repouso. Se empurrarmos o bloco para a posição $x_1$ surge uma força que tende a empurrarmos o bloco no sentido contrário. O mesmo se observa ao puxar o bloco para a posição $x_2$ onde uma força também é notada no sentido contrário.

Como o movimento é unidirecional a aplicação da segunda lei de Newton nos dá

E podemos reescrver essa equação como

onde

A equação 3 é conhecida como equação do movimento harmônico simples e é válida para qualquer potencial quadrático, equação 2. O termo $\omega$ é a frequência angular que tá diretamente relacionada ao frequência da oscilação.

Figura

1.2 Solução da equação diferencial

A equação [eq:equacao_MHS] é conhecida como uma equação diferencial de segunda ordem, pois contém uma segunda derivada em relação ao tempo. Para satisfazer a equação será necessário encontrar um função que derivando duas vezes resulte na mesma função. A função senoidais se encaixam muito bem como ansatz (tentativa de solução), mas existe uma classe de função mais geral, as funções exponenciais. Vamos supor uma solução da seguinte forma

Aqui $w$ e $A$ são apenas constantes. Realizando a primeira e segunda derivada de $x$, temos

Substituindo este resultados na equação [eq:equacao_MHS]

Logo, obtemos que $w=\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$

Poderíamos ter usado como ansatz a função $x(t)=Be^{-iwx}$e chegaríamos a mesma solução. De acordo que o princípio da superposição de solução, se temos mais de uma solução para uma equação diferencial a soma dessa soluções também é uma solução da equação. Então, de fora geral temos como solução

Trabalhar com esta solução pode ser pouco intuitivo, especialmente por ela conter números complexos. Vamos então realizar algumas manipulações nesta equação para tornar mais palpável. Lembremos da fórmula de Euler para exponenciais complexas

02 – ondas

Uma onda é definida fisicamente como uma perturbação que se propaga pelo espaço ou por meios materiais transportando exclusivamente energia, sem que haja o deslocamento de matéria entre o ponto de origem e o destino. O comportamento das partículas do meio durante essa propagação é o que define a classificação entre ondas longitudinais e transversais. Nas ondas transversais, a vibração ocorre em uma direção perpendicular ao deslocamento da energia, como se observa ao balançar uma corda ou no comportamento da luz e das demais ondas eletromagnéticas, onde o campo oscila formando ângulos de 90° com a trajetória da onda.

Já nas ondas longitudinais, as partículas do meio oscilam na mesma direção em que a onda se move, criando zonas alternadas de compressão e rarefação. O exemplo mais clássico desse fenômeno é o som se propagando no ar, onde as moléculas de gás são sucessivamente empurradas e afastadas na mesma linha da direção da viagem sonora. Enquanto as ondas transversais podem ser visualizadas pelo movimento de subida e descida de uma crista, as longitudinais assemelham-se ao movimento de uma mola sendo comprimida e esticada longitudinalmentea longitudinal, onde a vibração ocorre na mesma direção da propagação da onda.

2 .2 – Onda em um dimensão

Nesta seção vamos definir o que é necessário para que uma propagação seja descrita por um fenômeno ondulatório.

2.2.1 – Onda em um dimensão

Suponha um pulso de onda que se propaga na direção $x$, num instante $t=0$ o formato do pulso pode ser descrito pela função $y\left(x,0\right)=f\left(x\right)$, onde posicionarmos o pulso na origem $O$. Se o pulso caminha da esquerda para a direita com uma velocidade $v$, depois de um tempo $t$ ele estará na posição $y\left(x,t\right)$, mas manterá o formato do pulso. Nosso objetivo então é escrever a nova função que descrever o pulso que se deslocou.

Como o pulso se propaga com velocidade constante podemos acompanhar o pulso num segundo referencial $O‘$ que se move com a mesma velocidade do pulso $v$. Nesse referencial que se move a função do pulso pode ser escrita como

pois a função de onda ainda mantém o mesmo formato ao longo do tempo. Na equação $x‘$ é aposição do pulso no novo referencial. Podemos relacionar os dois referencial usando as transformações de Galileu, como o pulso se move apenas na direção $x$ a coordenada $y$ não é afetada, temos

Comparando a função dos pulso nos dois referenciais

Substituição a transformação de Galileu

Ou seja, o preço para se manter o formato do pulso é que a função que o descreve depende da posição e do tempo, mas esta grandezas estão sempre relacionadas, ou seja o perfil do pulso é o mesmo, se encontrando deslocados para a nova posição, tal que, $x‘=x–vt$.

O mesmo pode ser feito para uma pulso caminhando para a esquerda, a única mudança que teremos será na transformação de Galileu de $x‘=x–vt$. Então, para um pulso caminhando para a esquerda

Embora tenhamos demonstrado para um pulso, o mesmo se aplicar a um perfil ondulatório, neste que $y\left(x,0\right)$ funciona como uma foto monmentânea da onda propagante que chamamos de onda progressiva. Quando ondas se propagam num meio pulsos podem correr em ambos os sentidos, então teremos pulos se propagando para a esquerda e para a direita.