1 Massa específica

Em geral, podemos tratar fluidos como uma distribuição contínua de massa. Isso ocorrer por que as distâncias interatômicas são da ordem de $\mathring{\text{A}=10^{-10}}\text{m}$, que é muito pequenos comparadas as distâncias macroscópicas. Contudo, essa aproximação começar a falhar para gases extremamente rarefeitos.

Pe nsando que fluidos são constituídos de átomos, podemos imaginar que para uma mesmo volume de substâncias diferentes teremos massas diferentes, pois são constituídos por átomos diferentes que possuem massas distintas. Além disso, alguns as moléculas se atraem de forma diferente, seja por ligações iônicas, ligações de de hidrogênio ou ligações de Van de Waals. Essa atração/repulsão podem diminuir/aumentar as distâncias entre as moléculas e oferecer maior/menor preenchimento dos espaço. Então, uma forma de quantificar o preenchimento do espaço definindo a massa específica como masssa por unidade de volume ocupada por ela.

Como massa é medida em $Kg$ e Volume em $m^{3}$ a unidade no SI de massa específica é o $Kg/m^{3}$ , mais costumamos usar também o $g/cm^{3}.$ O $cm^{3}$ cúbico foi definido para se contenha exatamente $1g$ de água a 25°C, ou seja, a massa específica da água é exatamente $\rho_{\text{água}}=1g/cm^{3}.$

O volume pode ser medido também em litros (l), a medida de um cubo de 10 cm de lado ou 1dm. Podemos escrever litro no SI como

Então podemos escrever as unidade de densidade também como

O mercúrio é um metal que é líquido a temperatura ambiente. No laboratório há a disposição 10 ml de mercúrio que quando pesado na balança se observa uma massa de aproximadamente 135 g. Qual a densidade do mercúrio em $km/m^{3}$ e em Kg/L.

A massa de 135g equivale a $0,135kg=1,35\cdot10^{-2}kg$ e o volume de $10mL$ equivale a

calculando a massa específica, temos

2 Hidrostática

Fluidos quando submetido por uma força pontual se deformam, mas se esta força é espalhada em uma área ela é transmitida para o fluido como um efeito dominó. Assim, faz mais sentido pensarmos em termos de força distribuída em uma área. A força aplicada na superfície, $d\boldsymbol{F}$, será proporcional a área $dA$, que é maximizada na direção perpendicular ao a superfície $\hat{\boldsymbol{n}}$, que é conhecida como normal, cujo sentido definido é o q aponta para fora da superfície.

onde $d\boldsymbol{A}=dA\hat{\boldsymbol{n}}$ e p é constante de proporcionalidade que chamamos de pressão que também podemos simplesmente escrever como

onde $F1$ é a componente na direção da normal. Por simplicidade podemos escrever também

A unidade no SI de pressão é o Pascal (Pa), em homenagem a Pascal, definida em termos de outras unidades como

É comum o uso de outras unidades como a atmosfera (atm), definida como a pressão ao nível do mar, bar e o milímetro de mercúrio (mmHg) também conhecida como Torr, definida como a pressão que um coluna de mercúrio faz sobre um ponto.

Observe que escrevemos P independente da direção do vetor normal, mas a princípio poderia depender, vamos demonstrar que essa dependência não é necessária.

Vamos considerar um fluido em equilíbrio em que a pressão no ponto Q depende da normal, ou seja, $p\left(Q,\hat{\boldsymbol{n}}\right)$. Por simplicidade, consideremos um cilindro de volume infinitesimal de bases $dA$ e $dA’$ onde as normais a essas superfícies, $\hat{\boldsymbol{n}}$ e $\hat{\boldsymbol{n}}$, formam um ângulo de $\theta$. Devido a simetria cilíndrica as pressões nas laterais se anula, sobra apenas as contribuições na direção z. Projetando a pressões na direção do eixo z. Na base inferior, temos

pois $\hat{\boldsymbol{n}} \cdot \hat{\boldsymbol{k }} =1$ já que que estão na mesma direção e $p\left(Q,-\hat{\boldsymbol{n}}\right)=p\left(Q,\hat{\boldsymbol{n}}\right)$pela definição de pressão e pela terceira lei de Newton. Na base superior

É fácil notar que

De modo que a contribuição sobre o elemento infitesimal é

Também poderíamos adicionar as forças volumétricas a conta que dependem de $dAdz$. Contudo, esta contribuição é de ordem superior $dA$ e podemos desprezá-la. Também podemos fazer$p\left(Q,\hat{\boldsymbol{n}}’\right)\approx p\left(Q’,\hat{\boldsymbol{n}’}\right),$pois a diferença de pressão é infinitesimal entre esses dois pontos.Na condição de equilíbrio estático as forças devem se anular, então

o que resulta em

para quais quer que sejam as normais.

Dessa forma quando usamos uma manômetro para medir a pressão em um fluido, por exemplo, não importa como pomos a direção da ponta de teste, a pressão dependerá apenas do ponto onde ela será medida.

2.1 Compressibilidade

Conforme uma força é aplicada em um fluido as partícula tendem a se comprimir de modo que uma aumento da pressão, $\Delta P$, provoca um decréscimo relativo de volume, $-\frac{\Delta V}{V}$ . A razão entre essas duas quantidade é conhecida como módulo de Young

Quanto mais fácil for comprimir um material menor será o módulo de Young, pois uma pressão aplicada resulta em um maior decréscimo relativo de volume, $-\frac{\Delta V}{V}.$ Em geral, gases tem um módulo baixo, pois as partículas estão muito espalhadas, seguidos pelos e sólidos.

2.2 Lei de Stevin

Em um fluido as partículas massivas em cima fazem uma força peso sobre as de baixo, de modo que teremos uma pressão no fluido que dependerá da coluna do fluido sobre o ponto. A partir daqui tratamentos fluidos incompreensíveis idealmente, isso nos limita a líquidos incompreensíveis. A incompressibilidade também resultante em uma específica constante.

Supomos um liquido num cilindro as a pressão nos lados se anulam pela simetria e temos um pressão P na base inferior e uma pressão $P0$ na base superior. A massa da coluna de líquido é

onde assumimos um liquido homogêneo, ou seja, com massa específica constante. Por simplicidade chamaremos $\Delta z=h$. A força que a coluna de líquido faz sobre a base inferior é de

Utilizando a definição de pressão, $F=PA,$a força resultante sobre o cilindro pode ser escrita como

Logo,

que é conhecida como lei de Stevin.

Na parede interna temos a atuação da pressão atmosférica e da coluna de água, está força é perpendicular a superfície, neste caso na direção horizontal. Para um elemento dh na parede da barragem a força é dada por

onde $\rho$ é da densidade da água e $dA=Ldh$ é o elemento de área em que a força $dF_{x}$ atua. Integrando nos limites h=0 até h=H, temos

esta é a força exercida na parte interna. Contudo, na parte externa termos a atuação da pressão atmosférica q deve contrabalançar parte desta força. Podemos supor um formato não vertical para represa (como é de costume para represa), a força sobre a superfície é mostrada na figura. A componente horizontal da força sobre um elemento ds na superfície é dada por

temos que $dh=ds\cos\theta .$ Logo,

Integrando nos limites h=0 até h=H.

A força total sobre a barragem é então dada por

ou seja, apenas a força da coluna de água contribui. Podemos calcular o ponto médio de aplicação dessa força fazendo

temos então

A força que sustenta o líquido é a força atmosférica que é de $1atm\approx1,013\times10^{5}\ Pa=1,013\times10^{5}\ N/m^{2}$ . De acordo coma lei de Stevin a força que a coluna de mercúrio exerce é

Como o sistema está equilibrado esta força é iguala força atmosférica

Logo,

Substituindo os valores

Uma unidade de pressão foi definida em termos da pressão exercida por uma coluna de mercúrio devido seu uso extenso na aferição da pressão arterial, o milímetro de mercúrio (mmHg). A pressão exercida por um milímetro de mercúrio é

2.2.1 Princípio de Pascal

Observe que a pressão em um ponto no liquido depende apenas da profundidade, ou seja, ela independente do formato do recipiente e da direções planares. Além disso, conforme aumentamos a pressão P0 está pressão é distribuída para todos os pontos do líquido de tal forma a pressão é sempre a pressão submetida mais a contribuição da coluna de liquido sobre o ponto, isso é conhecido como princípio de Pascal

Quando uma pressão é aplicada em um fluido ela é transmitida sem redução para todos os pontos do fluido.

Podemos aplicar esse conceito para explicar o funcionamento do elevador hidráulico composto por dois pistões. Para uma força $F_{1}$ aplicada num pistão de área $A_{1}$ que produz uma pressão P. Essa pressão será trnasmitida ao longo do liquído de tal que na outra extremidade do pistão a pressão será de P que aplicada na área $A_{2}$ produzirá uma força $F_{2}.$ Podemos então relacionar

Como força e área sã inversamente proporcionais, quanto maior a área $A_{2}$ em relação a $A_{1}$, menor será força necessária $F_{1}$ para produzir a força $F_{2}.$ Assim, podemos levar um carro muito pesado aplicando uma força menor num pistão com área muito grande.

2.2.2 Princípio de Arquimedes

Existe uma lenda famosa que menciona que Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) recebeu a tarefa de verificar a autenticidade de uma coroa de ouro encomendada pelo rei Hierão II de Siracusa. Na fabricação de joias, é comum adicionar prata ao ouro para aumentar a dureza e reduzir custos — prática que deu origem ao ‘quilate’ como medida de pureza (sendo o ouro 24k considerado 100% puro). Como o ouro é mais denso que a prata, uma coroa adulterada ocuparia um volume maior do que uma de ouro puro de mesma massa.

A lenda conta que, durante um banho, Arquimedes percebeu que o nível da água subia ao entrar na banheira. Ele teria concluído que seria possível determinar o volume da coroa medindo a água transbordada de um recipiente totalmente cheio. Entusiasmado, ele teria saído correndo nu pelas ruas gritando ‘Eureka!’ (que significa ‘Encontrei!’).

Embora engenhoso, o relato só surgiu 200 anos após a morte de Arquimeds, nos escritos do arquiteto romano Vitrúvio. A precisão desse método, contudo, foi questionada por diversos cientistas, inclusive Galileu Galilei. Eles argumentaram que medir o transbordamento seria impreciso demais para a época, já que a tensão superficial da água e as margens de erro tornariam o experimento inconclusivo para variações tão pequenas de volume.

Um método muito parecido pode ser usado para demonstra o príncipio, ele consiste em determinar a densidade indiretamente a partir da diferença de peso de um objeto dentro e fora da água. Esse método é muito usado para determinar a densidade aproximada de pedras preciosas.

Supomos um objeto cilíndrico totalmente mergulhado dentro do líquido. De acordo com a lei de Stevin, a pressão aumenta com a profundidade $\left(p_{0}+\rho dh\right).$ A força exercida na base e topo do cilindro é

Contudo, na faces laterais do cilindro as forças se anulam. Como a pressão no fundo é maior que no topo haverá uma força direcionada para cima que chamamos de empuxo que é dada por

Substituindo as forças dadas pela lei de Stevin

onde $\Delta h$ é altura do cilindro, cujo o volume submerso é $V_{submerso}=A\Delta h$ que é o volume. Logo, o empuxo devido a submersão do objeto é dado por

Contudo, $m_{L}=\rho_{L}V_{submerso}$, é a massa de líquido que preencheria o cilindro totalmente com o líquido. Então,

ou seja, o empuxo para cima sofrido pelo objeto é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto quando mergulhado

Quando um corpo é mergulhado em um líquido ele sobre um empuxo de baixo para cima que é igual ao peso do fluido deslocado por ele.

Agora, vamos mostrar que isso não depende do formato do objeto. Considere uma porção irregular isolada de líquido $\left(V_{L}\right)$de dentro de um recipiente com o líquido em repouso. Como o líquido está em equilíbrio a força resultado sobre o elemento de líquido é zero. Existe duas forças atuando sobre esse elemento, o peso do líquido

e a força de contado do líquido ao redor do elemento de líquido, cuja a soma de todas essas forças de pressão é o que chamamos de empuxo. Para manter o equilíbrio as somas de forças tem que ser zero, logo temos

Agora, removemos a porção de líquido e colocamos no mesmo lugar um objeto de mesmo volume e formato, mas densidade diferente. A força de contado do fluido não deve mudar pois preservamos o formato, portanto a força vertical para cima resultante continuando sendo a mesma que sustentava a porção de líquido original, e o empuxo continuando sendo igual ao peso do fluido deslocado.

Quando o objeto está apenas na balança, ela faz um força para contrabalançar o peso do objeto, ou seja,

Agora, colocamos o béquer com água sobre a balança, que registrará o peso $P_{AB}.$ Quando adicionarmos o objeto com o fio preso temos a força peso do objeto e tensão do fio atuando e o empuxo produzi pelo líquido

Por outro lado, a força de empuxo provoca uma reação de acordo com a tereirra lei sobre a balança de medição, para baixo

Por simplicidade, costuma-se usar o recurso de tara para eliminar o peso o conjunto béquer e água. Assim o peso aparente na balança me simplesmente

Se fizemos a razão entre o peso do objeto e o empuxo nos chegamos na seguinte expressão

temos,

Substituindo a equação anterior anterior