Pares de Cooper

3 – Oscilações forçadas e ressonância

1 Movimento harmônico simples amortecido

Vamos supor um bloco acoplado a uma mola que possuem uma placa redonda imersa em água. Neste modelo, devemos observar que as oscilações do sistema diminuirão com tempo. O mesmo é observado quando para o sistema no ar, mas as oscilações devem perdurar por mais tempo.

Consideraremos um amortecido proporcional a velocidade e de constante de amortecimento b (sempre maior que zero). A força é contrária ao movimento e a componente na direção x é dada por

Fax=−bv.(1)F_{ax}=-bv.\tag{1}

De acordo com o diagrama de corpo livre temos o seguinte resultado na direçaõ da oscilação

−bv−kz=ma-bv-kz=ma

que pode ser expressa usando a definições de derivada v=dzdt v=\frac{dz}{dt} e a=d2zdt2a=\frac{d^{2}z}{dt²}. Logo,

d2zdt2+γdzdt+ω02z=0(2)\frac{d^{2}z}{dt²}+\gamma\frac{dz}{dt}+\omega^{2}_{0}z=0\tag{2}

onde definimos as quantidades

ω02=km e γ=bm(3)\omega^{2}_{0}=\frac{k}{m}\ \text{e}\ \gamma=\frac{b}{m}\tag{3}

Esta é uma equação do segundo grau, então vamos seguir com o mesmo procedimento adotado para o MHS. Adotando o ansatz z(t)=Aeut z\left(t\right)=Ae^{ut} temosz˙(t)=Aueut\dot{z}\left(t\right)=Aue^{ut} e u¨(t)=Au2eut\ddot{u}\left(t\right)=Au^{2}e^{ut}

Au2eut+γAueut+Aω02eut=0Au^{2}e^{ut}+\gamma Aue^{ut}+A\omega^{2}_{0}e^{ut}=0

o que nos a equação do segundo grau

u2+γu+ω02=0u^{2}+\gamma u+\omega^{2}_{0}=0

cuja a solução é

u=−γ2±iω, onde ω=ω02−γ22(4)u=-\frac{\gamma}{2}\pm i\omega,\ \text{onde}\ \omega=\sqrt{\omega^{2}_{0}-\frac{\gamma^{2}}{2}}\tag{4}

E a solução mais geral do problema deve incluir também z(t)=Ae−utz\left(t\right)=Ae^{-ut}, o que nos dar,

z(t)=Aeut+Be−ut(5)z\left(t\right)=Ae^{ut}+Be^{-ut}\tag{5}

As soluções para u podem resultar em números complexos, então separamos entre três casos

1.1 Amortecido subcrítico(γ/2<ω0)\left(\gamma/2<\omega_{0}\right)

Neste primeiro ω\omega é real e a primeiro ω \omega é real e a equação 4 resulta em número complexos com uma parte real e outra imaginária. Neste caso a equação 5 nos dar

z(t)=e−γ2t(Aeiωt+Be−iωt)(6)z\left(t\right)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\right)\tag{6}

O qual é possível reescrever simplesmente como

z(t)=e−γ2t(acos⁡(ωt)+b sen(ωt))z\left(t\right)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(a\cos\left(\omega t\right)+b\ \text{sen}\left(\omega t\right)\right)

onde a e b são constantes arbitrárias. Seguindo o procedimento esta equação pode ser escrita simplesmente como.

z(t)=Ae−γ2tcos⁡(ωt+φ)z\left(t\right)=Ae^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos\left(\omega t+\varphi\right)

onde as constantes arbitrárias são A e φ\varphi .

Para obter a velocidade devemos tomar a primeira derivada da posição, temos

z˙(t)=ddt(e−γ2t(acos⁡(ωt)+b sen(ωt)))=(acos⁡(ωt)+b sen(ωt))ddt(e−γ2t)+e−γ2tddt(acos⁡(ωt)+b sen(ωt))=−γ2e−γ2t(acos⁡(ωt+φ)+b sen(ωt))+e−γ2t(−ωa sen(ωt)+ωbcos⁡(ωt))\dot{z}\left(t\right) = \frac{d}{dt}\left(e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(a\cos\left(\omega t\right)+b\ \text{sen}\left(\omega t\right)\right)\right) = \left(a\cos\left(\omega t\right)+b\ \text{sen}\left(\omega t\right)\right)\frac{d}{dt}\left(e^{-\frac{\gamma}{2}t}\right)+e^{-\frac{\gamma}{2}t}\frac{d}{dt}\left(a\cos\left(\omega t\right)+b\ \text{sen}\left(\omega t\right)\right) = -\frac{\gamma}{2}e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(a\cos\left(\omega t+\varphi\right)+b\ \text{sen}\left(\omega t\right)\right)+e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(-\omega a\ \text{sen}\left(\omega t\right)+\omega b\cos\left(\omega t\right)\right)

que pode ser expressa em termos da posição como

z˙(t)=−γ2z(t)+ωe−γ2t(−a sen(ωt)+bcos⁡(ωt))(8)\dot{z}\left(t\right)=-\frac{\gamma}{2}z\left(t\right)+\omega e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(-a\ \text{sen}\left(\omega t\right)+b\cos\left(\omega t\right)\right)\tag{8}

Podemos expressar essa equação estabelecendo condições iniciais. Para um movimento se iniciando em t=0, temos

z0=z(0)=az_{0}=z\left(0\right)=a
v0=z˙(0)=−γ2a+ωbv_{0}=\dot{z}\left(0\right)=-\frac{\gamma}{2}a+\omega b

Do qual obtemos

b=1ω(v0+γ2a)=1ω(v0+γ2z0)b=\frac{1}{\omega}\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2}a\right)=\frac{1}{\omega}\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2}z_{0}\right)

Substituindo na equação da posição

z(t)=e−γ2t(z0cos⁡(ωt)+(v0ω+γz02ω) sen(ωt))(9)z\left(t\right)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(z_{0}\cos\left(\omega t\right)+\left(\frac{v_{0}}{\omega}+\frac{\gamma z_{0}}{2\omega}\right)\ \text{sen}\left(\omega t\right)\right)\tag{9}

1.1.1 o balanço de energia

1.2 Amortecimento Supercrítico (γ/2<ω0)\left(\gamma/2<\omega_{0}\right)

Neste caso, ω\omega é número complexo, o que resultada em valor u real e nos dá

z(t)=e−γ2t(Aeβt+Be−βt)z\left(t\right)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(Ae^{\beta t}+Be^{-\beta t}\right)

onde definimos β=γ22−ω02, \beta=\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{2}-\omega^{2}_{0}}, cujo o valor é sempre β<γ2\beta<\frac{\gamma}{2}. Desse modo, podemos escrever a solução a cima como

z(t)=Ae−(γ2−β)⏞>0t+Be−(γ2+β)tz\left(t\right)=Ae^{\overbrace{-\left(\frac{\gamma}{2}-\beta\right)}^{>0}t}+Be^{-\left(\frac{\gamma}{2}+\beta\right)t}

O que resulta em duas exponenciais decrescentes, ou seja, ao oscilação é totalmente suprimida pelo atrito. Para tempos longos a segunda exponencial é suprimida mais rápido, resultado em contribuições expressivas apenas da primeira.

z(t)≈Ae−(γ2−β)t, para t→∞z\left(t\right)\approx Ae^{-\left(\frac{\gamma}{2}-\beta\right)t},\ \text{para}\ t\rightarrow\infty

1.3 Amortecimento Crítico (γ/2=ω0) \left(\gamma/2=\omega_{0}\right)

No amortecimento crítico β=0\beta=0, o que resulta em uma única solução para as raízes resulta em uma solução dada apenas por

z(t)=Be−γ2t.z\left(t\right)=Be^{-\frac{\gamma}{2}t}.

Contudo, esta ainda não a solução mais geral possível. Então, vamos supor uma solução que é uma combinação desta solução com uma outra função dependente do tempo, z(t)=w(t)e−γ2t.z\left(t\right)=w(t)e^{-\frac{\gamma}{2}t}. Substituindo este ansatz na equação diferencial, temos

z(t)=w(t)e−γ2tz\left(t\right)=w\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}
z′(t)=w′(t)e−γ2t−γ2w(t)e−γ2t=w′(t)e−γ2t−γ2z(t)z’\left(t\right)=w’\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}w\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}=w’\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}z\left(t\right)
z′′(t)=w′′(t)e−γ2t−γ2w′(t)e−γ2t−γ2z′(t)z”\left(t\right)=w”\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}w’\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}z’\left(t\right)

Logo,

0=d2zdt2+γdzdt+ω02z0=w′′(t)e−γ2t−γ2w′(t)e−γ2t−γ2(w′(t)e−γ2t−γ2w(t)e−γ2t)+γ(w′(t)e−γ2t−γ2w(t)e−γ2t)+(γ2)2w(t)e−γ2t0=w′′(t)e−γ2t0 = \frac{d^{2}z}{dt{{}^2}}+\gamma\frac{dz}{dt}+\omega^{2}_{0}z 0 = w”\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}w’\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}\left(w’\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}w\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}\right) +\gamma\left(w’\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}-\frac{\gamma}{2}w\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}\right)+\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{2}w\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t} 0 = w”\left(t\right)e^{-\frac{\gamma}{2}t}

O que resulta em

w′′(t)=0w”\left(t\right)=0

Integrando em relação ao tempo

w′(t)=a e w(t)=at+bw’\left(t\right)=a\ \text{e}\ w\left(t\right)=at+b

Assim, a solução geral é dada por

z(t)=e−γ2t(at+b)z\left(t\right)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(at+b\right)

2 Oscilações forçadas e ressonância

Na seção anterior observamos que quando atrito é adicionado a um sistema com uma força restauradora as oscilações são amortecidas. O amortecimento pela força é maior quanto mais próximo o γ/2→ω0\gamma/2\rightarrow\omega_{0}. Nesta seção vamos discutir o que ocorre com com esse sistema quando uma força externa atua sobre o movimento, estaremos especialmente interessados em forças harmônicas.

Vamos considerar um sistema massa-mola com a massa presa a um motor que gira com uma velocidade angular ω \omega , como mostrado. O motor então empurra o bloco com uma força

F(t)=F0cos⁡(ωt)F\left(t\right)=F_{0}\cos\left(\omega t\right)

Aplicando a segunda lei de Newton para a direção do movimento

mx¨+kx=F0cos⁡(ωt)m\ddot{x}+kx=F_{0}\cos\left(\omega t\right)

Vamos definir ω0=km\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} que é frequência d movimento se não houvesse uma força externa sendo aplicada, conhecida como frequência própria ou frequência natural.

x¨+ω02x=F0mcos⁡(ωt)(12)\ddot{x}+\omega^{2}_{0}x=\frac{F_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right)\tag{12}

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem inomogênea, ou seja, não podmos usar o mesmo método que usamos nas equações diferencias que usamos até aqui. Contudo, a solução ainda pode ser escrita em termos da equação homogênea de acordo com o teorema.

Teorema: Solução de equações inomogêneas
Seja a equação diferencial linear de ordem n

L[y]=y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=g(x)L[y]=y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_{1}y’+a_{0}y=g(x)

onde L[y] é um operador linear, e g(x)≠0 g(x)\neq0 , ou seja, trata-se de uma equação não homogênea.

A solução geral y(x) da equação diferencial não homogênea é dada por:

y(x)=yh(x)+yp(x)y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)

em que yh(x)y_{h}(x) é a solução da equação homogênea associada L[y]=0eyp(x) L[y]=0 e y_{p}(x) é uma solução particular da equação não homogênea L[y]=g(x) .

A equação homogênea da EDO, 12 é a velha conhecida

x¨+ω02x=0\ddot{x}+\omega^{2}_{0}x=0

Cuja solução é a função

x(t)=Acos⁡(ω0t+φ)x\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)

onde A e φ\varphi são constantes arbitrárias.

amos obter uma solução particular estacionária para a equação 12, para isso é conveniente supor uma solução complexa, pois facilitará trabalhar com o função cossenoidal. desse é possível a equação geral como

z¨+ω02z=F0meiωt\ddot{z}+\omega^{2}_{0}z=\frac{F_{0}}{m}e^{i\omega t}

onde z(t)=x(t)+iy(t)z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right). A parte real desta equação dá exatamente a equação inomogênea original 12.

Devemos propor um ansatz para a solução da equação, o mais intuito é considerar uma função exponencial complexa

z(t)=z0eiωt.z\left(t\right)=z_{0}e^{i\omega t}.

As drivadas em relação ao tempo são z˙(t)=iωz0eiωtz¨(t)=−ω2z0eiωt\dot{z}\left(t\right)=i\omega z_{0}e^{i\omega t} \ddot{z}\left(t\right)=-\omega^{2}z_{0}e^{i\omega t}. Substituindo na equação anterior nós obtemos

−ω2z0eiωt+ω02z0eiωt=F0meiωt-\omega^{2}z_{0}e^{i\omega t}+\omega^{2}_{0}z_{0}e^{i\omega t}=\frac{F_{0}}{m}e^{i\omega t}

de onde nós tiramos

z0=F0m(ω02−ω2).z_{0}=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}.

Logo, tomando apenas a parte real de z(t), z\left(t\right), nós observamos que a solução particular da equação inomogênea é

x(t)=F0m(ω02−ω2)cos⁡(ωt)x\left(t\right)=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}\cos\left(\omega t\right)

A solução geral então é soma da solução da equação homogênea e da solução particular

x(t)=F0m(ω02−ω2)cos⁡(ωt)+Acos⁡(ω0t+φ)(13)x\left(t\right)=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}\cos\left(\omega t\right)+A\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)\tag{13}

A velocidade do oscilador forçado é dada por

x˙(t)=−ωF0m(ω02−ω2) sen(ωt)−ω0A sen(ω0t+φ)(14)\dot{x}\left(t\right)=-\frac{\omega F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}\ \text{sen}\left(\omega t\right)-\omega_{0}A\ \text{sen}\left(\omega_{0}t+\varphi\right)\tag{14}

Considerando o caso de um oscilador inicialmente em repouso na posição de equilíbrio da mola, as condições iniciais são dadas por

x(0)=0 e x˙(0)=0x\left(0\right)=0\ \text{e}\ \dot{x}\left(0\right)=0

Substituidno obtemos

x(0)=F0m(ω02−ω2)+Acos⁡(φ)=0x\left(0\right)=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}+A\cos\left(\varphi\right)=0
x˙(0)=−ω0A sen(φ)=0\dot{x}\left(0\right)=-\omega_{0}A\ \text{sen}\left(\varphi\right)=0

Da segunda equação temos que φ=0\varphi=0, então

A=−F0m(ω02−ω2) e φ=0A=-\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}\ \text{e}\ \varphi=0

Logo a solução para posição é

x(t)=F0m(ω02−ω2)cos⁡(ωt)−F0m(ω02−ω2)cos⁡(ω0t)x\left(t\right)=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}\cos\left(\omega t\right)-\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}_{0}-\omega^{2}\right)}\cos\left(\omega_{0}t\right)
x(t)=−F0m(ω0+ω)[cos⁡(ωt)−cos⁡(ω0t)ω−ω0](15)x\left(t\right)=-\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}+\omega\right)}\left[\frac{\cos\left(\omega t\right)-\cos\left(\omega_{0}t\right)}{\omega-\omega_{0}}\right]\tag{15}

2.1 Física para os limites de frequência

Os efeitos da força externa sobre o oscilador dependemte fortemente da frquência da força externa e da frequência natural do oscilador. A amplitude da oscilação é msotrada na figura ao lado.

Vamos considerar três limites fde importância física:

2.1.1 Limites de baixas frequências

Em baixas frequências, ω≪ω0\omega\ll\omega_{0} o movimento é dominado pela frequência da força externa. A aceleração do sistema, sem aproximação, é dada por

x¨=−ω2x\ddot{x}=-\omega^{2}x

Contudo, esta é aceleração é pequeno quando comparada a produzida naturalmente pelo MHS, ω02x \omega^{2}_{0}x. Logo, tomando a aproximação de baixas frequências na equação 12, temos

ω02x≈F0mcos⁡(ωt)\omega^{2}_{0}x\approx\frac{F_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right)
x≈F0mω02cos⁡(ωt), para ω≪ω0.(16)x\approx\frac{F_{0}}{m\omega^{2}_{0}}\cos\left(\omega t\right),\ \text{para}\ \omega\ll\omega_{0}.\tag{16}

Logo, o movimento ocorre na mesma direção da força externa o que equilibra força restauradora

2.1.2 Limites de altas frequências

Em altas frequências, ω≫ω0\omega\gg\omega_{0} e o movimento é dominado pela força restauradora. Neste caso é a aceleração do aceleração natural do oscilador −ω02x-\omega^{2}_{0}x que é desprezível na equação 12, de tal modo que podemos escrever a equação de movimento simplesmente como

−ω2x≈F0mcos⁡(ωt)-\omega^{2}x\approx\frac{F_{0}}{m}\cos\left(\omega t\right)
x≈−F0mω2cos⁡(ωt), para ω≫ω0.(17)x\approx-\frac{F_{0}}{m\omega^{2}}\cos\left(\omega t\right),\ \text{para}\ \omega\gg\omega_{0}.\tag{17}

O que mostra que agora a força externa atua contra o movimento. Isso ocorre devido o termos produzido pelo força (kx) ser desprezível e o movimento é dominado pelo termo de inércia mx¨m\ddot{x}, dizemos que o movimento é dominado pela inércia.

Comparando as equações 16 e 17 e a figura , notamos que o movimento possui uma amplitude maior para baixas frequências. Isso mostra que para frequência muito altas a inércia não consegue acompanhar a frequência excessiva da força externa, lhe impedindo de fornecer energia a oscilação.

2.1.3 Ressonância

Quando ω→ω0 \omega\rightarrow\omega_{0} a amplitude da oscilação diverge, A→∞A\rightarrow\infty . Fisicamente isso é incompatível com molas reais, pois a Lei de Hooke falha para oscilações de altas amplitude e termos de outras ordens precisam ser considerados. Contudo, na presença de dissipação a descontinuidade e divergência são suavizadas, o que vai além do que pretendemos trabalhar.

De qual quer modo, quando a frequência da força se aproxima da força externa se aproxima da frequência da força externa a amplitude da oscilação aumenta consideravelmente, dizemos que o sistema entrou em ressonância.

Na ressonância o termo entre colchetes na equação 15, pode ser escrito como

onde usamos a definição da derivada df(x)dx=limh→0\frac{df\left(x\right)}{dx} =lim h\rightarrow0 f(x+h)−f(x)h\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}Desde modo, na ressonância temos

O que evidencia um crescimento linear da amplitude do movimento.

De modo geral, em baixas frequência a força externa domina a oscilação a impedindo de ceder energia ao sistema. Por outro lado, em altas frequência a força externa é tão rápido e não há tempo de o sistema reagir a adição de energia pela força externa. Contudo, na ressonância encontramos a posição ideal para ceder energia a sistema.

Situações de ressonância são bem comuns no universo da acústica. Por exemplo, alguns cantores são capazes de sintonizar num tom muito próximo a frequência natural de uma taça de vidro, quebrando-a. Casos como a da ponte Tacoma Narrow nos Estados Unidos em 1940, reforçam o cuidado ao se projetar estruturas. Neste caso, a ponte entrou em ressonância com o vento local, mas efeito semelhante pode ser obtido se tivemos um certo número de pessoas ou carros a atravessando de forma harmônica, como uma macha sincronizada.